Licence d'études fondamentales : Sciences Mathématiques et Applications

• L’objectif

Acquérir les notions de base en :  logique et langage des ensembles,  relation et applications et arithmétique dans Z. 

• Notions de logique  et langage de base de la théorie des ensembles 
• Relations binaires et Applications
• Arithmétique dans Z

• L’objectif

• Introduire les notions de base sur les groupes, les anneaux et les   corps.
• Développer les notions de base sur les polynômes à une variable ainsi que les fractions rationnelles à coefficients réels ou complexes.

• Structures usuelles 
•  Polynômes   
• Fractions rationnelles  

• L’objectif

Comprendre les bases de  la mécanique du point.

• Rappels mathématiques (Opérations sur les vecteurs, Opérateurs différentiels.)
• Systèmes de coordonnées (Cartésiennes, cylindriques et sphériques)
• Cinématique du point matériel sans et avec changement de référentiel.
• Dynamique du point matériel.
• Travail, énergie, théorème de l’énergie cinétique.
• Les forces centrales : application à la mécanique céleste.
• Système de deux particules, les chocs.

Les oscillateurs harmoniques

• L’objectif

• Comprendre les deux principes de la thermodynamique.
• Donner aux étudiants une formation générale en thermodynamique en mettant en relief les échanges d’énergies et de fournir les bases nécessaires pour aborder les problèmes de la discipline.

• Outils mathématiques pour la thermodynamique.
• Définitions et concepts de bases (travail et chaleurs, thermométrie et calorimétrie, changements d'état).
• 1er principe et applications.
• 2éme principe et applications.
• Introduction aux cycles thermodynamiques et machines thermiques.
• Potentiels thermodynamiques.

• L’objectif

Maitriser les notions de base préliminaires sur l’informatique

• Histoire de l’informatique
• Structure des ordinateurs
• Langages de programmation
• Réseaux et Internet
• Le codage

• L’objectif

• Comprendre un cours magistral 
• Interagir oralement  en cours magistral, td et tp 
• Produire un court texte fonctionnel en rapport avec ses activités d’apprentissage 
• Traiter des consignes

• les données annexes (rappels, références à d’autres chapitres ou parties d’autres matières…)
• la structure du cours : introduction (intitulé, objectifs, grands axes), contenu proprement dit, les synthèses et conclusions.
• Les échanges avec l’enseignant (questions / réponses)
• La rédaction de courts textes (canevas) tels que demandés lors de manipulations ou recherche documentaires basiques.

• L’objectif

• Présenter les fondements de l’intégrale de Riemann.
• Calcul  de  primitives
• Etude et résolution des équations différentielles linéaires du premier et deuxième ordre à coefficients constants

• Intégrale de Riemann   
•  Calcul des primitives  
• Equations différentielles  

• L’objectif

Compléter les notions acquises en Analyse 1 :

- Formules de Taylor, Développement Limité

- Etudier  et représenter les courbes paramétrées dans le plan.

• Formule de Taylor et applications -
• Développement limité et applications
• Courbes paramétrées et courbes polaires

• L’objectif

Initier les étudiants aux notions de base d’Algèbre linéaire et d’acquérir les techniques de calcul relative à ces notions

• Résolutions des systèmes linéaires par la méthode de Gauss 
• Espaces vectoriels 
• Espaces vectoriels de dimension finie 
• Matrices  

 Déterminant et applications

• L’objectif

Initier les étudiants aux notions de base d’Algèbre linéaire et d’acquérir les techniques de calcul relative à ces notions

• Résolutions des systèmes linéaires par la méthode de Gauss 
• Espaces vectoriels 
• Espaces vectoriels de dimension finie 
• Matrices  

 Déterminant et applications

• L’objectif

• Rappeler et approfondir les lois de l’optique géométrique.
• Etudier quelques instruments optiques.

• Notions fondamentales de l’optique géométrique (postulats, indice d’un milieu, rayon lumineux, espace objet, espace image, principe de Fermat, lois de Snell-Descartes, stigmatisme, approximation de Gauss).
• Miroirs et Dioptres (plans et sphériques, prisme).
• Fibres optiques.
• Systèmes centrés (éléments cardinaux, lentilles, …).
• Associations des systèmes centrés.

Etudes de quelques instruments d'optique (lunette astronomique, télescope, loupe,microscope….).

• L’objectif

Maitriser les notions de base de l’algorithmique

• Introduction à l’algorithmique
• Instructions élémentaires
• Structures de contrôle: conditionnelles, répétitives.
• Les tableaux

• L’objectif

• Exploiter ses ressources intellectuelles pour élaborer un texte;
• Structurer sa pensée;
• Elaborer un texte cohérent;
• Identifier les caractéristiques d'une  description ;
• Décrire un appareil, une machine, un phénomène;
• Identifier les caractéristiques d'une  explication ;
• Expliquer un phénomène, une démarche, un processus...

• RECHERCHE ET ORGANISATION DES INFORMATIONS

• TEXTES DESCRIPTIF  ET EXPLICATIF (analyse et production):

Le texte descriptif : fonctions, caractéristiques et structure

               Le texte explicatif : fonctions, caractéristiques et structure

Le cours comprend une partie en présentiel (1h30 min / semaine) et une autre partie à distance sur la plate- forme.

Les éléments théoriques  ainsi que les activités (tests d’apprentissage)  sont mis à la disposition des étudiants sur la plate- forme. Le cours en présentiel / regroupement a pour but de mettre l’accent sur les éléments les plus importants et c’est également une occasion d’échanges pour répondre aux questions des étudiants.  

• L’objectif

Etudier de manière détaillée les séries numériques ainsi que les suites et séries de fonctions. L’exemple classique des séries entières et séries de Fourier sera traité.

• Intégrales  généralisées   
•  Séries numériques
• Suites et  Séries de fonctions 
• Séries entières      

 Série de Fourier 

• L’objectif
• Acquérir les notions topologiques de base de l’espace normé   Rⁿ.
• Etudier la continuité, la différentiabilité et les extremums des fonctions de plusieurs variables réelles.

• Espaces vectoriels normés et topologie de Rn    

•   Limites et continuité   
• Différentiabilité 

  Formule de Taylor et extremums   

• L’objectif

• Apprendre des techniques de réduction des endomorphismes
• Applications à la résolution des systèmes d’équations différentiels et aux suites récurrentes

• Polynômes d’endomorphismes    
• Diagonalisation
• Réduction d'endomorphismes scindés
• Applications  

• L’objectif

Acquérir des outils mathématiques adaptés aux mouvements des solides dans l’espace et leurs situations énergétiques.

• Champs de vecteurs et torseurs
• Cinématique du solide
• Cinétique du solide
• Liaison mécanique
• Dynamique du solide
• Théorèmes généraux

Travaux pratiques

• L’objectif

• Renforcer les connaissances acquises en « Electricité 1 ».

Doter l’étudiant de notions fondamentales en électromagnétisme

Magnétostatique : Champ d’induction, Propriétés de l’induction magnétiques, Loi de Laplace, Théorème d’Ampère, potentiel vecteur, loi de Biot et Savard, application (étude des symétries et calcul de l’induction magnétique, Effet Hall).

Courant alternatif : comportant des composants résistifs, capacitifs et inductifs-énergie des circuits. Equations de Maxwell dans le vide : Induction magnétique, potentiels scalaire et vectoriel « en jauge de Lorentz ».Ondes électromagnétiques dans le vide : Equations locales, Intégrales et relations de passage, énergie magnétique

- Travaux Pratiques

• L’objectif

Maitriser les bases de la programmation C en développant des algorithmes très solides souvent très liés aux problèmes mathématiques.

• Introduction
• Types de base, variables, constantes
• Opérateurs et expressions
• Les entrées sorties en C
• Les structures de contrôle

Les tableaux  Les pointeurs

• L’objectif

Le module a pour but de maitriser les techniques du calcul intégral multiple, ainsi que le calcul intégral vectoriel (intégrales curvilignes et intégrales de surface).  On présente aussi la méthode des résidus pour pouvoir calculer certaines intégrales généralisées. L’étudiant à la fin du cours doit avoir les habilités de calculer toutes sortes d’intégrales (surtout celles rencontrées en Physique), et de savoir quand dériver et intégrer une intégrale dépendant d’un paramètre.

• Intégrales multiples
• Intégrales vectorielles (Intégrales curvilignes et de surfaces)
• Intégrales dépendant d’un paramètre

Intégrales complexes

• L’objectif

Acquérir les notions fondamentales de Dualité et des espaces euclidiens.

• Dualité
• Espaces Préhilbertiens réels 
• Espaces Euclidiens  

Espaces Hermitiens

• L’objectif

• Approfondir les notions fondamentales de groupes et groupes quotient, Théorème d’isomorphisme et groupe engendré.
• Approfondir les notions fondamentales d’anneaux  et d’idéaux, anneaux quotients, anneaux principaux.
• Assimiler la notion de polynôme à plusieurs indéterminées et leurs propriétés.

• Groupes
• Anneaux et corps 

Polynômes à plusieurs indéterminées 

• L’objectif

Etudier et mettre en œuvre des méthodes numériques pour la résolution de certains problèmes courants que l’on rencontre dans divers domaines. La simulation numérique sur ordinateur joue le rôle d’expériences.

• Principes du calcul numérique .

•  Résolution numérique d’une  équation non linéaire à une variable 

•  Interpolation polynômiale  

• Dérivation et Intégration numérique

• L’objectif

Partie  Statistique descriptive : Apprendre à nos étudiants  des  méthodes  pour collecter, dépouiller et étudier des données issues d'un système (ou phénomène) en évolution dans le temps. Ensuite leur apprendre à mieux  représenter ces données par des  tableaux et des graphes, et  pouvoir  tirer des conclusions intéressantes sur le système (ou phénomène) étudié, à travers le calcul d'un certain nombre d'indicateurs (mode, médiane, moyenne, variance, écart-type, quantiles, etc.) .

Partie Probabilités :   nous proposons aux étudiants une introduction au calcul de probabilités, outil important pour comprendre l'évolution de systèmes et phénomènes aléatoires. Cet outil est fondamental  pour des études en statistique, une discipline de mathématiques appliquées, très sollicitée dans les procédures scientifiques d'aide à la décision.

• Partie : Statistique descriptive 

Partie : Probabilités

• L’objectif

Maitriser les bases de la programmation C en développant des algorithmes très solides souvent très liés aux problèmes mathématiques.

• Structures de données et types abstraits
• Structures linéaires: listes, files et piles
• Structures arborescentes: arbres binaires, arbres binaire de recherche, tas, hachage, arbre équilibrée.
• Graphes: terminologie, représentation, algorithmes de parcours

• L’objectif

Acquérir les notions de base sur les mesures positives et l’intégrale de Lebesgue

• Clans, Algèbres, Tribus, tribu engendrée, Tribu borélienne, classes monotones.
• Mesures positives, propriétés essentielles, Partie négligeable, Espace mesuré complet, Prolongement d’une mesure, théorème de Carathéodory (admis), Mesure de Borel-Lebesgue.
• Applications mesurables ,  critères de mesurabilité, trace,  Fonctions étagées, opérations sur les fonctions mesurables, Théorème d'approximation des mesurables par les étagées.
• L’intégrale de Lebesgue : intégration des fonctions étagées positives, intégration des fonctions mesurables positives, théorème de Beppo - Levi , fonctions intégrables, mesure image et mesure à densité,  le lemme de Fatou , le théorème de convergence dominée de Lebesgue.

Liens entre l’intégrale de Riemann et l’intégrale de Lebesgue, intégrales dépendant d'un paramètre. 

• L’objectif

Comprendre la topologie dans les espaces métriques et les espaces vectoriels normés. Etendre les notions topologiques déjà acquises dans Rⁿ à des espaces plus abstraits.

• Espaces métriques 
• Eléments de topologie 
• Limites et continuité
• Espaces complets
• Espaces compacts

Espaces connexes

• L’objectif

Initier l'étudiant à modéliser des problèmes pratiques sous forme de problèmes de programmation mathématique et lui donner les outils mathématiques et informatiques pour résoudre de telles problèmes.

• Notions fondamentales 
• Programmation linéaire 
• Optimisation différentiable  sans contraintes
• Programmation différentiable  

• L’objectif

Introduire des méthodes numériques se basant sur celles introduites dans le module d'Analyse numérique I du semestre 4 ainsi que quelques  applications. L'objectif étant  d'approcher numériquement les solutions de quelques modèles mathématiques régis par des équations différentielles ordinaires (ODE) et des équations aux dérivées partielles (EDP) en dimension 1. Les méthodes introduites seront illustrées par des TD-TP utilisant les codes de calcul scientifique Scilab ou Phyton.

• Résolution numérique d’un système d’équations non linéaires 
• Méthode de Newton et variantes, méthode de point fixe. Etude de la convergence.
• Approximation de valeurs et vecteurs propres 
• Méthode de la puissance itérée, méthode de la puissance inverse, méthode QR. Etude des cas de matrices symétriques et des matrices tridiagonales.
• Introduction aux méthodes numériques pour la résolution des équations différentielles ordinaires.
• Méthode des différences finies en dimension 1 et 2

Introduction à la méthode des éléments finis en dimension 1

• L’objectif

• Utiliser les outils d'algèbre linéaire en géométrie
• Etudier les groupes d'isométries
• Maîtriser la géométrie élémentaire du plan et de l'espace

- Géométrie affine    

-  Espaces vectoriels euclidiens

-  Espaces affines euclidiens

• L’objectif

Donner à l’étudiant les éléments de base en statistique inférentielle. Nous insisterons sur les propriétés d'optimalité des estimateurs ainsi que sur les différentes méthodes d'estimation avec des applications sur des exemples concrets. Par ailleurs, une partie importante sera dédiée à la théorie des tests d'hypothèses en se focalisant plus sur des applications des tests paramétriques usuels, les tests pour variables catégorielles et les tests non paramétriques classiques.  

• Lois de probabilités usuelles en statistique
• Généralités
• Méthodes d'estimation
• Tests d'hypothèses paramétriques

Tests pour variables catégorielles et tests non paramétriques

• L’objectif

Acquérir les notions et  techniques de base d’Analyse Complexe.

Donner  des applications : résolution de certaines équations différentielles par Fourier ou Laplace

• Rappels  et compléments 
•  Fonctions analytiques d'une variable complexe 
• Formule intégrale de Cauchy et Applications 
• Transformation de Laplace et Applications aux équations différentielles

Transformation de Fourier et Applications aux équations différentielles

• L’objectif

Maitriser les bases de la programmation orientée objet avec le langage C++.

• Paradigme de programmation
• Introduction à la programmation  orientée objets
• Notion de type abstrait
• Notions de classe et objets
• Concepts fondamentaux de l’orienté objets (encapsulation, abstraction de données)
• Interaction : Association, agrégation
• Réutiliser, étendre : Héritage, généricité
• Liaison dynamique : polymorphisme
• Application à un langage orienté objets C++

• L’objectif

• Etendre aux espaces de Banach les résultats du calcul différentiel  abordés dans le module de S4  afin de permettre aux étudiants de bien maîtriser les techniques du calcul différentiel et ses applications.
• Se préparer pour la compréhension des aspects quantitatifs et qualitatifs des équations différentielles.

• Applications Différentiables  
• Le Théorème de la Moyenne et Quelques Applications 
• Différentielles d’Ordre Supérieur  

Le Théorème d’Inversion Locale et des Fonctions Implicites

• L’objectif

Compléter les notions d’intégration présentées dans le module : intégration 1 du semestre 5 : Théorème de Fubini, les espaces L^p , modes de convergence, donner des applications.

• Mesure produit, espaces mesurés produits, théorème de Fubini, changement de variable
• Les espaces L ^p et L^p, Inégalités de Hölder et Minkowski, complétude
• Applications : Transformation de Fourier, Convolution
• Modes de convergence 
• Le théorème de Radon-Nykodym et applications

• L’objectif

Compléter le module de Topologie 1 de S5 par l’étude des applications linéaires et multilinéaires sur les espaces vectoriels normés, les théorèmes classiques d’Analyse et les espaces de Hilbert.

• Espaces normés, applications linéaires (et multilinéaires) continues
• Théorèmes classiques

Espaces de Hilbert

• L’objectif

Compléter et approfondir les notions  fondamentales d’Algèbre général.

• Groupes 
• Anneau Factoriels

Corps Finis

• L’objectif

Maîtrise des outils de probabilités.

• Introduction aux modèles aléatoires
• Probabilités conditionnelles et indépendances
•  Variables et vecteurs aléatoires :
• (Lois des variables aléatoires, Paramètres de localisation et de dispersion,
• Variables indépendantes, Transformations des variables aléatoires. Loi de la somme)
• Les modes de convergence
• (Borel-Cantelli et ses applications, Convergence presque sûre, en probabilité et dans les L^p, Cas d'une série de variables aléatoires indépendantes, Loi faible et forte des grands nombres )
• Fonctions caractéristiques et vecteurs gaussiens
• Convergence en loi. Théorème de la limite central

• L’objectif

Le but de ce module est de fournir aux étudiants des méthodes qui permettent d’étudier les aspects quantitatif et qualitatif pour les équations  différentielles non-linéaires.

• Equations différentielles ordinaires Définitions et théorèmes généraux
• Equations Différentielles linéaires non homogènes générales
• La Théorie de la Stabilité des Equations Différentielles Ordinaires par Linéarisation
• Stabilité et Fonctions de Lyapunov
• Comportement Asymptotique des EDO
• Equation différentielles dans le plan

• L’objectif

• Acquérir des compétences concernant :
• Recherche bibliographique relative à un sujet
• Méthodologie du travail personnel
• Traiter un sujet, rédiger un rapport et l’exposer devant un jury

• Enseignement sur la documentation  et la méthodologie du travail personnel, Traitement du texte approprié à la discipline (Latex )
• Bibliographie relative au thème du sujet et connaissances fondamentales relatives au thème.

Etude relative au  sujet du projet tutoré : rapport écrit  et exposé oral devant un jury.